-- 1階線形常微分方程式(3) (2009/09/08 22:08) - 2508PV

前回までの微分方程式は、「斉次形」といって、右辺が0でした。



今回は、右辺を1とした「非斉次形」を扱います。
右辺が0でなければ「非斉次形」です。

斉次形というのは、イメージとしては入力のない微分方程式です。
たとえば、電源がない電気回路を微分方程式にすると、斉次形になります。

逆に、非斉次形は、入力がある微分方程式です。
この辺りは、微分方程式のラプラス変換をとった伝達関数を考えるとイメージしやすいかと思います。



非斉次形の解を考えてみます。
まずは、試しに斉次形の一般解を代入してみます。




当たり前ですが、これらは一致しません。
だから、解になりません。



解に1という項を追加すれば、左辺も1になり解として成立します。
任意定数も含まれているので、これは一般解です。



右辺が一般の場合を考えてみます。
積分因子をかけるという解法もありますが、ここでは「定数変化法」を用います。



斉次形の一般解の定数係数を、関数と考えます。
そして、微分方程式に代入するだけ。
これだけのことで非斉次形の一般解が求められます。



実際に代入してみると、途中の項がうまくキャンセルされます。
そして、係数の関数の微分方程式が得られます。
これは、いわゆる変数分離によって解くことができます。



このように変形できるので、f(t)次第では積分を実行できます。



あとは、係数関数を元に戻せば一般解の出来上がりです。



最初に挙げた微分方程式を、定数変化法で解きます。
右辺は1でした。



これを用いて計算すると、確かに先に得られたのと同じ一般解が得られます。

-- 参考文献

-- 関連項目
1階線形常微分方程式
1階線形常微分方程式(2)
1階線形常微分方程式(4)
微分方程式の数値解析
有限要素法
ヘルムホルツ方程式
有限要素法(2)
有限要素法(3)

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