-- フーリエ余弦級数 (2007/10/14 15:37) - 1399PV

10/10の応用数学の授業から。
再び登場したわけですが、この授業が面白いんだー。

フーリエ級数の係数の求め方





これを見ると、高校時代に学んだアレが思い浮かびます。

f(x)が偶関数の時



f(x)が奇関数の時



フーリエ級数の係数の積分は、ただのf(t)ではなく、それと三角関数の積の積分です。
だから、単純にf(t)の偶奇では場合分けできないかな・・・と思いきや!
余弦関数・正弦関数もそれぞれ偶関数・奇関数なので、話は単純にまとまります。

偶関数・奇関数の積は、偶関数になるのか奇関数になるのか。
結論は、こうです。
偶関数×偶関数=偶関数
偶関数×奇関数=奇関数
奇関数×偶関数=奇関数
奇関数×奇関数=偶関数

それは、偶数・奇数の積に置き換えて考えれば良いのかなと思ったら、違う。
偶数×偶数=偶数
偶数×奇数=偶数
奇数×偶数=偶数
奇数×奇数=奇数

冷静になって、偶関数・奇関数の定義まで戻ってみました。

f(x)が偶関数



f(x)が奇関数



偶数・奇数という置き換えで考えるのではなく、正の数・負の数という置き換えで考えるべきのようです。
名前に騙されちゃいけない。
正×正=正
正×負=負
負×正=負
負×負=正

では、f(t)が偶関数か奇関数かで場合分けをします。

f(t)が偶関数のとき
偶関数cosntとの積は偶関数なので



奇関数sinntとの積は奇関数なので



b=0、つまりsinの項が全て無くなり、f(t)はこのように表すことが出来ます。



余弦関数の和で表されるので、これをフーリエ余弦級数と呼びます。

f(t)が奇関数のとき
偶関数cosntとの積は奇関数なので



奇関数sinntとの積は偶関数なので



同じ発想で、こちらのf(t)はフーリエ正弦級数となります。



・・・で、綺麗に表せたから終わりか?
工学的には、積分を計算する量が半分に減ったわけです。

単純計算で半分の時間で同じ精度の解析ができます。
同じ時間をかければ、倍の精度の解析ができます。

-- 参考文献
偶関数と奇関数 - Wikipedia

-- 関連項目
直交関数系
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