-- ヘルムホルツ方程式 (2009/10/08 15:57) - 5260PV

1次元のヘルムホルツ方程式は厳密解が簡単に求められます。
まず、ヘルムホルツ方程式を紹介。



訳の分からない名前がついているから、ひるんでしまいそうだけど。
良く見ると、見覚えのある式です。

位置の微分を時間の微分とみれば、単振動の式と同じです。



フックの法則より、ばねにかかる力は位置に比例する。



ニュートンの運動方程式。



力の項を消去すれば、単振動の式が得られます。

これを逆に利用して考えると。
ヘルムホルツ方程式の解も、単振動と同様に三角関数を含む解になりそうです。

実際に解いてみる前に、定数と境界条件を与えておきます。



解が簡単になるように設定してあります。



まとめると、これを解くということ。



線形微分方程式を解く時の定石ですが、指数関数を代入してみます。



このsの多項式を特性方程式と呼ぶこともあります。
2次方程式なので簡単に解けます。



解が2つ出てきたので、基本解が2つ。
その線形結合をとれば一般解です。



これが一般解。
虚数は落ち着かないので、変形します。



ようやく一般解が完成。
予想通り三角関数になりました。
最後に、境界条件を代入します。



積分定数が得られ、これで特殊解の完成です。



微分方程式の解法を説明するのは長い道のりです・・・。
とりあえず、解が得られました。

次は有限要素法を使って近似解を求めてみます。

-- 参考文献

-- 関連項目
1階線形常微分方程式
1階線形常微分方程式(2)
1階線形常微分方程式(3)
1階線形常微分方程式(4)
微分方程式の数値解析
有限要素法
有限要素法(2)
有限要素法(3)
有限要素法の精度向上法
有限要素法の精度向上法(2)

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