-- 直交関数系 (2007/10/04 22:51) - 1706PV

9/26の応用数学の授業より、フーリエ級数の係数の求め方の話です。
そもそもフーリエ級数ってなんだって話ですが、細かいことは省略。



扱うのは、このような周期関数です。
周期2πごとに全く同じ波形が繰り返される関数を扱います。



同じ関数をこのように、展開することができます。
つまり、ある周期関数を三角関数の和として表すことができるのです。
ここで、aとかbとかいう三角関数の重み付けの係数が出てきます。
これをどうやって求めるかというのが今回の話です。

ここで、表題の直交関数系の話に移ります。
直交関数系とは・・・
集合{Φk}における2つの関数が



のとき、区間a<t<bにおいて集合{Φk}を直交関数系という。

正弦関数と余弦関数は、-π<t<πにおいて直交関数系です。
これがフーリエ級数の係数を求める際のポイントになります。



であり、確かに余弦関数は、-π<t<πにおいて直交関数系であることが分かります。
これから「m=nでないときは全て0」という性質を利用してやります。

三角関数と周期関数の積を-π<t<πの間で積分をとってやると面白いことになります。





「m=nでないときは全て0」になり消えてしまうので、m=nの項だけが残るのです。
こうして、一つ一つの項を抽出することができます。
これを一般化すると以下の式が得られます。





直交関数系というやつは、必要な項以外を見事に消してくれる優れものなのでした。

-- 参考文献

-- 関連項目
フーリエ余弦級数
ディジタルフィルタ
基礎情報理論

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