-- 正多角形周率 (2008/10/16 01:23) - 4890PV

ゆとり教育の話で有名な「円周率が3」について考察。

なぜ円周率が3だといけないのか。
円周率を3として求めた円周は、正6角形の周の長さに等しいです。
つまり、円を正6角形と近似しているようなものです。

・・・確かにその近似は不十分のような気もする。

過去の東大入試の「円周率が3.05より大きいことを示せ。」という問題。
これは、正8角形の周の長さを計算することで示すことができました。
逆に、円周率を3.05くらいとすれば、円を正8角形と近似しているようなもの。

円周率は一般的に3.14と近似されることが多いですが、これは十分なのか。
円周率を3.14と近似するのは円を正何角形と近似することなのか。

ここで、考察対象をひっくり返します。
正n角形の円周率はいくつになるのか。

・・・円周率という言い方は正しくないので、正多角形周率とでも呼ぶことにします。
たとえば、「正6角形周率は3」というわけですね。

正n角形周率の計算は難しくないです。
高校生の幾何で、以下の式が得られます。



これを色んなnに対して計算してやります。
さて、正n角形周率が3.14となるnはいくつか。



だいたい正57角形でした。
つまり、円周率を3.14と近似するということは、円を正57角形と近似するようなものです。
正57角形なら、確かにもう円といっても差支えないかな。

この表によれば、前述の東大入試は正8角形以上でしか示せないことも分かります。
正7角形では不十分なんですね。

ちなみに、正1000角形周率まで求めて表に載せたので参考にしてみてください。

-- 参考文献

-- 関連項目
円周率と乱数
円周率と乱数(2)
いちふけい「面白いですね。視野を広げると今までと違う世界が見えてきますね。われわれはごく一部の特殊な世界を経験しているような気がしてきました。奥深いですね。数学が特に好きな子は、また違う世界から見ているかもしれません。」 (2008/10/18 10:38)

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